Cálculo Manual de la TIR

En la entrada anterior se explicaba el cálculo de la TIR mediante EXCEL. Algunos de vosotros también está interesado en como puedo hacer para calcular esa tasa interna de retorno de manera manual, como se hacía antaño. Pues vamos a desvelarlo!!!

Vamos a tomar el mismo ejemplo que en la entrada anterior, un proyecto de inversión cuyo desembolso inicial era de 1.500 €, con un horizonte temporal de 4 años y con unos flujos de caja descritos en la tabla a continuación.

Flujos de cobros y pagos del proyecto
Año
Cobros
Pagos
1
3.000
2.500
2
4.500
3.500
3
5.000
4.500
4
3.000
2.000

Para este caso habíamos determinado una tasa de actualización del 15%. Este valor es importante para que podamos ver si la TIR será mayor o no que dicho porcentaje y así aceptar el proyecto como viable. 

Como todos sabéis, la TIR es aquella tasa de actualización para la que el valor actual neto de la inversión es igual a cero. Dicho de otro modo, es la tasa de descuento que hace que un proyecto de inversión tenga un VAN nulo, una especie de medida de la rentabilidad relativa de la inversión.

La tasa de rendimiento viene dada por el punto de corte entre la curva del VAN y el eje de abscisas. Si se analiza el gráfico del ejemplo tratado, la curva resultante sería:

Siguiendo la definición de tasa de retorno de la inversión, el momento en el cual el VAN es nulo está para una tasa entre 30% y 40% según el gráfico anterior. Se puede observar que si el tipo de descuento aplicado en el VAN es superior a la rentabilidad relativa de la inversión, la inversión no sería deseable, puesto que el VAN daría negativo. El VAN positivo estará en el tramo de la curva para el cual el tipo de descuento sea inferior a la tasa de retorno de la inversión (k < TIR).

Por lo tanto, sólo se invertirá en aquellos proyectos en los que la TIR sea mayor al coste del capital (TIR > k). Y de entre varios proyectos, siempre se seleccionará el que de mayor rentabilidad relativa.

Para el cálculo del valor de la TIR, que se simboliza con la letra r, se iguala el VAN a cero y se aísla r para hallar su valor.


 Siendo:

FCi:        Flujo de caja del periodo j
D0:         Desembolso inicial
r:            Tasa de retorno de la inversión
n:            Duración de la inversión

La principal limitación de este criterio es la misma que en el VAN , la reinversión de los flujos de caja positivos a un tipo de interés igual a r, y la financiación de los flujos negativos a un tipo similar a r.

Para el ejemplo que tenemos entre manos la fórmula anterior podría expresarse del modo siguiente, igualando la función del VAN a cero y hallando el valor de r.


El paso siguiente es encontrar el valor de r, despejando en la ecuación; tarea complicada si el número de períodos es elevado.

La forma más sencilla de encontrar el valor es mediante la hoja de cálculo o con calculadora financiera. Pero hoy hemos querido ser más intrépidos y nos arriesgamos a usar la calculadora de "mano". 

Si no se dispone ni de ordenador, ni de calculadora financiera mediante fórmulas, se podrá hallar una aproximación del valor por defecto y una aproximación por exceso, logrando así un intervalo dentro del cual estará comprendida la r que se pretende encontrar.

Con el intervalo ya calculado, se puede realizar la interpolación lineal, como se podría hacer con el criterio del plazo de recuperación (lo explicaremos otro día). En este post, el estudio se va a centrar en los métodos de cálculo manuales, mediante fórmulas.

La aproximación por defecto dará el valor inferior del intervalo en el cual estará contenida la TIR. Para encontrarlo se utiliza la siguiente expresión:

Si aplicamos la fórmula al ejemplo anterior que se ha ido desarrollando, dará el siguiente resultado:



r = 29,68%

Ahora ya se sabe que el valor de la tasa de rentabilidad relativa de la inversión estará por encima de 29,68%. Ahora falta encontrar el límite superior del intervalo para que quede acotado. Para el cálculo de la aproximación por exceso se utiliza la expresión siguiente:



Y sustituyendo cada uno de los parámetro por el valor que tiene en el ejemplo planteado quedará:





  
r = 38,72%

El intervalo que contiene la tasa interna de retorno es el comprendido entre los valores siguientes:

[29,68% , 38,72]

Ahora pues, será el momento de calcular mediante interpolación lineal el valor aproximado de la TIR. En este proceso tan sólo se realiza una comparación de triángulos rectángulos semejantes. Lo primero es calcular los VAN de la inversión para los respectivos valores de r comprendidos en el intervalo. Se trata de encontrar dos tasa de actualización consecutivas, que proporcionen un valor positivo y otro negativo del VAN. Es decir, siendo:

Se buscará un valor rj tal, que cumpla que el VAN sea positivo y que el VAN de rj+1 sea negativo



            Para r = 30%;           VAN = 54

            Para r = 31%;           VAN = 26,37

            Para r = 32%;           VAN = -0,51

Una vez ya se tienen los dos valores de r consecutivos, para los cuales da un VAN positivo y otro negativo, se aplica el razonamiento de la interpolación lineal. Se obtendrá un resultado aproximado, pues se está suponiendo que la curva que recoge los distintos valores del VAN es recta, cuando ya se ha demostrado en un gráfico anterior que tiene una cierta curvatura.

Ya se ha dicho antes que la TIR implica un VAN igual 0. Se sabe que la tasa de rentabilidad relativa estará entre 31% y 32%. Entre ambos valores la curva del VAN cruzará el eje de abscisas, como se demuestra en el gráfico a continuación.

Para el cálculo, se toma el valor del VAN positivo dividido entre la suma de los dos valores de los VAN, tanto del positivo como del negativo en valor absoluto, y el resultado es la cantidad que se tiene que sumar a rj para obtener la TIR.




El valor resultante se calcula mediante el cociente:


            
El valor de la TIR quedará por lo tanto:


TIR = 31 + 0,98 = 31,98%

Un consejo: la perdida de precisión por el cálculo manual será menor contra más podamos ajustar el valor del intervalo sobre el que realizamos a continuación la interpolación lineal.